День подачи документов здесь совсем ни при чем.
Правильно: В течение скольких дней нужно ответить на письмо?
Написание регулируется правилом: в неофициальных устойчивых, в том числе образных, названиях государств и городов с прописной буквы пишется первое (или единственное) слово, а также (если они есть) собственные имена. Правильно: Город большого яблока. Ср.: Вечный город (о Риме), Белокаменная, Первопрестольная (о Москве), Северная Пальмира (о Петербурге).
Названия иностранных политических партий в русском языке не воспринимаются как условные и не нуждаются в выделении кавычками: иностранное слово само по себе достаточно выделяется. Ср. аналогичный подход в наименованиях информационных агентств: отечественные заключаются в кавычки (информационное агентство «Интерфакс»), а зарубежные — нет (агентство Франс Пресс).
Верно: избегать (чего?) Синей яхты.
Количество выходных дней не превышает двух.
Грамматически такие формы возможны, однако эти слова употребляются только в форме единственного числа.
Корректен второй вариант. Также можно написать: Оператор создает слои (изменяет их состав) в течение 10 дней.
Тире в этих примерах нужно по правилу о постановке тире в неполных предложениях.
