В этом предложении можно счесть подлежащим Кологривов, а существительное старик — приложением к нему. Но это — в том случае, если до этого номинации старик Кологривов в тексте не было. А вот если этот персонаж постоянно именуется этим сочетанием, то подлежащим становится все это сочетание.
Строго говоря, верно то наименование, какое используют (если используют) жители самой станицы. Ее история насчитывает всего несколько десятилетий, и нам не известны письменные свидетельства, в которых упоминались бы жители станицы с таким необычным названием и на которые можно было бы указать как на источник сведений о слове, образованном от названного топонима.
Использовать кавычки не нужно.
Верно в р. п.: директора Морозовой Тамары.
Запятые не нужны: Он по старой памяти покровительствует данной организации.
Сочетание страны ЕС корректно.
Корректно написание: страны «Большой семерки».
Это корректный оборот.
