Да, запятая обязательна: Здравствуйте, Александр!
В данном случае слова «император Александр» зависят от слова «память» и стоят в форме родительного падежа: памяти (чьей?) императора Александра I.
В свою очередь именно слово «память» стоит в форме дательного падежа (как слова «Кузьме Минину и гражданину Пожарскому» во втором примере).
Таким образом, надпись составлена верно.
Нет, запятая не нужна. Слова по поручению вводными не являются.
Запятая не нужна.
Да, правильно, фамилия склоняется.
Если при иноязычной фамилии имеются два мужских имени, то она ставится в форме множественного числа: братья Борис и Александр Гольдберги. Но при отсутствии имен: братья Гольдберг (при слове братья фамилия обычно ставится в форме единственного числа).
Если женская фамилия Ивашина корреспондирует с мужской фамилией Ивашин, то она склоняется так: Ивашиной, Ивашину, об Ивашиной. Если же эта фамилия корреспондирует с мужской фамилией Ивашина, то обе фамилии (мужская и женская) склоняются так: Ивашины, Ивашине, Ивашину, Ивашиной, об Ивашине.
Да, мужская фамилия Букач склоняется.
Слова старший, младший (не перешедшие в разряд прозвищ и являющиеся именами нарицательными) пишутся со строчной буквы и присоединяются дефисом: Лазарев-младший. Но если слова старший и младший присоединяются не к слову, а к сочетанию слов (т. е. к имени и фамилии), то дефис меняется на тире (дефисное написание с сочетанием слов невозможно): Джордж Буш – старший, Александр Лазарев – младший.
