Правильно: могу предложить чай с лимоном (винительный падеж).
Этот шуточный вопрос требует "серьезного" ответа?
Во избежание двусмысленности лучше сказать: в магазине "Солнечный рай".
Правило простое:
После ж, ч, ш, щ не пишутся ю, я, ы, а пишутся у, а, и, например: чудо, щука, час, роща, жир, шить. Буквы ю и я допускаются после этиx согласных только в иноязычных словах (преимущественно французских), например: жюри, парашют (в том числе – именах собственных, например: Сен-Жюст), а также в сложносокращенных словах и буквенных аббревиатурах, в которых, по общему правилу, допускаются любые сочетания букв.
Оба вопроса корректны.
Тире ставится.
Если это название теле- или радиопередачи, то его следует заключить в кавычки и писать с большой буквы.
Правильно: заварили крепкий чай.
