Существует слово пазуха - существительное. Этим объясняется раздельное написание выражения за пазухой.
В первом случае возможны варианты, во втором корректно компаниями, участвующими.
Лучше так: Он отдал самое дорогое – свою жизнь за страну, за Победу. Если приложение выражает более конкретное значение, а предшествующее определяемое слово имеет общее или образное значение, то тире ставится только перед приложением.
Представляется более корректным считать за грибами дополнением (пошли за чем?). Но не будет ошибкой и такой разбор этого предложения, при котором слова за грибами будут выделены как обстоятельство цели (пошли с какой целью?).
Запятая не нужна, если это контекст плата за газ за февраль, а не перечисление тостов: за газ, за февраль... :)
Вариант сходить за водой стилистически нейтральный, вариант по воду уместен в народно-поэтической речи. По хлеб – неправильно.
