Верно: Вы были заняты.
Твердое или мягкое произношение того или иного звука в русском языке обусловлено как произношением его в языке-источнике, так и степенью освоенности слова русским языком. Ср. ин[т]ернет, но [т']ермин.
Формы второго предложного падежа (местного падежа, или локатива) с окончанием -у имеют только некоторые существительные мужского рода второго склонения: о саде и в саду, о рае и в раю, о снеге и в снегу, но о сугробе и в сугробе, о сундуке и в сундуке и т. д. Но форма предложного падежа с окончанием -у для слова отпуск (в отпуску) тоже допустима, хотя не так распространена и имеет стилистические особенности (она разговорная). См. также наши ответы на вопросы № 263338 и 325842.
Правильно: были рационализм и прогресс.
См. в «Словаре трудностей».
Форма множественного числа неупотребительна, поскольку бурьян - собирательное существительное.
Корректно: чтобы операторы были клиентоориентированны.
От глагола идти задать вопрос "где?". Приведенные Вами примеры возможны.
Правильно: нарекание в чем, претензии на что. 3. См. в Словаре трудностей.
