В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова (М., 2002) в этом слове выделен корень -вяз-. Словообразовательная цепочка: вязать – связать – связь – связист. Вероятно, учительница считает слово связь непроизводным в современном русском языке. Эту точку зрения можно понять: на современном этапе развития языка вывести значение слов связь, связист из корня -вяз- затруднительно. Но всё-таки представляется, что смысловые связи между словами вязать – связать – связь разрушены еще не полностью и выделение корня -вяз- пока еще оправданно.
Есть, но в других источниках (например, в «Словаре собственных имен русского языка» Ф. Л. Агеенко) мужские и женские фамилии и личные имена, оканчивающиеся на -о, -е, даны как несклоняемые. Эта рекомендация представляется более оправданной и логичной: склонять имена типа Марко, Павло, Петро плохо потому, что из косвенных форм невозможно вывести начальную форму имени: у Марка, у Павла, у Петра выглядят как формы имен Марк, Павел, Петр.
Женская фамилия Минец не склоняется. Мужскую фамилию можно склонять двояким образом: с выпадением гласного (Минца, Минцу и т. д.) и с сохранением гласного (Минеца, Минецу и т. д.). Решение о типе склонения принимает носитель фамилии, но предпочтителен второй вариант (с сохранением гласного), так как в этом случае из косвенных форм легко вывести начальную форму фамилии. А если форма дательного падежа будет Минцу, может возникнуть вопрос: это фамилия Минец или Минц?
Такое употребление возможно, если слово слёзы используется в переносном значении "сожаления": В конуре своей изограф Акимыч — трактирный завсегдатай — торопливо малюет на вывеске окорока и колбасы, чтобы в положенный час сесть с графинчиком в положенном уголку — и лить слезы о пропитой жизни [Е. И. Замятин. Русь (1923)].
Верно раздельное написание.
Отличить причастие от прилагательного можно по следующим признакам. Слово в полной форме с суффиксом -н-(-нн-), -ен-(-енн)- является отглагольным прилагательным, если оно образовано от глагола несовершенного вида и не имеет зависимых слов, и является причастием, если образовано от глагола совершенного вида и/или имеет зависимые слова. Где конкретно употребляется слово (в тексте, на этикетке, вывеске и т. п.), значения не имеет.
В сочетании вязаная мочалка слово вязаная – прилагательное: оно образовано от глагола несовершенного вида (вязать – что делать?) и не имеет зависимых слов.
Приложение — это компонент, главная функция которого состоит в дополнительной характеристике определяемого слова. Эта дополнительная характеристика может носить уточняющий характер, может служить указанием на особую важность предмета в каком-либо отношении (старейшая газета России в Вашем примере), может называть классифицирующий признак предмета (летопись в Вашем примере) и др. Поэтому ориентироваться разумнее не на различные попытки вывести правила разграничения приложений и определяемых слов, которые содержатся в различных пособиях, но не охватывают и не могут охватить всего разнообразия смысловых и прочих отношений в конструкциях с приложениями, а на этот главный признак: то, что служит дополнительной характеристикой, и является приложением.
Как Вы уже поняли, никаких реальных ограничений на то, чтобы главное слово было собственным наименованием в кавычках, не существует. Безусловно, бывает, что такое название как раз и служит приложением (кафе «Березка»), но из этого нельзя выводить никакого правила.
Когда имеется обособление, решать, конечно, проще: в обоих Ваших примерах обособленные компоненты и являются приложениями.
Здесь возможны оба варианта — с двоеточием и без. В примечании к параграфу 50 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя говорится: «Подлинные выражения, вставленные в текст в качестве элементов предложения, выделяются кавычками, но двоеточие перед ними не ставится» (в качестве примера приводится несколько предложений, в частности Он вспомнил пословицу «За двумя зайцами погонишься — ни одного не поймаешь» и отказался от первоначального плана) — и там же указывается, что «если перед подлинным выражением имеются слова предложение, выражение, надпись и т. п., то перед ними ставится двоеточие» (например, Над воротами возвысилась вывеска, изображающая дородного амура с опрокинутым факелом в руке, с подписью: «Здесь продаются и обиваются гробы простые и крашеные…»).
Верно без кавычек.
