Правильно через дефис: врач-психиатр.

Более употребительно: врач была.

Автор неизвестен.

Что русскому здорово, то немцу смерть – что хорошо одним, может быть губительно для других. По одной из версий, происхождение этого оборота связано с конкретным случаем. Однажды молодой врач, приглашенный к безнадежно больному русскому мальчику, разрешил ему есть все, что он захочет. Мальчик съел свинину с капустой и, к удивлению окружающих, начал поправляться. После этого случая врач прописал свинину с капустой больному немецкому мальчику, но тот, поев, на следующий день умер. Выражение было распространено в русской литературе XIX века.

Правильно: ни врач, ни кто-либо другой.

Правильно дефисное написание.

Корректно дефисное написание: врач-рентгенолог.

Заведующая - вполне литературное существительное. Правильно: заведующая детским садом А. А. Иванова придумала...  См. также: Названия «неженских» профессий.

В значении "зубной врач" сегодня более употребительно слово стоматолог. Слово дантист дается словарями либо как "устаревшее", либо со следующим толкованием: "специалист-практик по лечению и протезированию зубов, не имеющий высшего специального образования (в отличие от стоматолога)". 

Грамматическая норма: женщина-врач справилась. Здесь женщина - определяемое слово, врач - приложение; сказуемое грамматически сочетается с определяемым словом.

Правильно со строчной буквы.