Западноевропейские и южноамериканские фамилии, включающие в свой состав служебные элементы (артикли, предлоги, частицы) ван, да, дас, де, делла, дель, дер, ды, дос, дю, ла, ле, фон и т. п., пишутся раздельно: Барклай де Толли. В XIX веке было распространено дефисное написание Барклай-де-Толли, оно до сих пор встречается в практике письма и некоторых словарях, но современной орфографической норме не соответствует.

Ватикан — это все-таки не город. Поэтому корректно: в Ватикане. 

Да, такая ситуация не редкость, когда гласные я, е, ё, ю, и находятся в положении после гласного или разделительного мягкого знака (буква и только во втором случае) на стыке морфем. Ср. морфемное членение следующих слов (без учета редукции безударных гласных): играют — игр-а-[й-ут], лисьи — лись-[й-и], гостья — гость-[й-а], свечение — свеч-ени[й-э], даёт — да-[й-от].

Верьте «Русскому орфографическому словарю» в  окошке «Искать на Грамоте», следует использовать дефисное написание: гейм-плей, гейм-дизайн-документ.

Для выражения изъяснительных отношений в бессоюзном сложном предложении используется двоеточие: Вовремя б понять: жизнь замирала, не дав мне оторваться от корней.

Корректно: В период 1939–1945 гг. по общему числу выпущенных танков и САУ, а также по количеству новых серийных моделей и прототипов Советский Союз обогнал все страны — участницы Второй мировой войны, вместе взятые.

Верно: в 960–1025 годах; в 1025–1079 годах; в 1295–1370 годах.

Оригинальное название на французском языке кавычек не требует, слово канкан в этом контексте следует писать с прописной и в кавычках, поскольку это название композиции: В финале второго акта оперетты Жака Оффенбаха «Орфей в аду» звучит знаменитая композиция «Адский галоп» (Galop infernal), более известная как «Канкан».

Да, верно: двух циклов.

На практике это сочетание заключается в кавычки примерно в половине случаев, т. е. написание неустоявшееся. На наш взгляд, кавычки можно снять, ведь все слова здесь употреблены в своих привычных значениях (у прилагательного красный значение 'относящийся к революционной деятельности, к революции, к коммунизму' давно уже не является необычным). Разнобой в ответах устранен.