В словах Дарьюшка и Софьюшка мягкий знак выполняет разделительную функцию, то есть обеспечивает произношение на месте буквы Ю двух звуков речи - Й и У. В слове Илюша на месте буквы Ю произносится только один звук.
В норме в слове часовщик после мягкого согласного во втором предударном слоге произносится редуцированный [ь], так же, как в других похожих словах (с[ь]невá, п[ь]санúна, п[ь]тачóк).
В слове шесть буква с обозначает глухой мягкий согласный [c'] — это легко определяется на слух. Буква с обозначает звонкий согласный [з] перед следующими звонкими парными согласными: б (сбой), г (сгинуть), д (сдать), з (сзади).
Правильно: Рамилевич, Рамилевна. Конечный мягкий знак имени опускается. См.: Суперанская А. В. Словарь русских личных имен. М., 2004; Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.
Нормативными словарями современного русского языка это слово не зафиксировано, поэтому возможно употребление его и как слова мужского рода (мягкий кашкорсе), по родовому трикотаж, и как слова среднего рода (по аналогии с большинством несклоняемых заимствований, оканчивающихся на -е).
Мужская фамилия Роот склоняется, женская не склоняется.
Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласную, безразлично — мягкую или твердую, склоняются (энциклопедия Брокгауза, поэзия Мицкевича, словарь написан Далем). Женские фамилии, оканчивающиеся на согласную, не склоняются (к Любови Дмитриевне Блок, воспоминания Надежды Мандельштам).
Для обозначения <jo> и <о> после мягких согласных в разное время предлагались разные буквы – созданные как на основе буквы е, так и на основе буквы о. Подробнее об истории буквы ё читайте в рубрике «7jo/">Азбучные истины».
Если глагол отвечает на вопросы что делать? и что делать?, мягкий знак пишется. Если на другой вопрос -- не пишется. Правильно: что сделать? -- показаться.
См. в учебнике С. Г. Бархударова «Правила русской орфографии и пунктуации» на портале.
Мужские имена на твердые и мягкие согласные (на письме на согласные буквы, и и ь) склоняются как нарицательные существительные такого же внешнего вида. Перечисленные имена можно соотнести с нарицательным существительным гений: гения, гению, гения, гением, о гении. Поэтому верно: о Георгии, Григории, Евгении.
Словари, действительно, дают оба варианта (даже самые строгие словари). Это означает, что оба варианта соответствуют литературной норме. Какой из них выбрать – решать Вам. Если говорить об истории этого слова, то первичен вариант изюбр, вариант с мягким знаком появился позже. Но сейчас они равноправны.
