Слово "зимой" в данном случае является наречием. Чтобы отличить наречие от существительного в творительном падеже, нужно учитывать контекст и синтаксическую роль слова в предложении. Наречия обычно отвечают на вопросы "когда?", "как?", "где?" и обозначают признак действия или состояния. В данном случае "зимой" отвечает на вопрос "когда?", указывая время действия. Существительное в творительном "зимой" выполняет функции дополнения и отвечает на вопрос "чем?": Я очарован зимой. 

Дело в том, что словари не приводят все возможные формы слов; в словарях представлены только такие формы (да и то не все), которые представляют затруднения для говорящих и пишущих на русском языке. Воспроизвести в словаре все формы слов русского литературного языка в полном объеме пока что представляется технически нереализуемой задачей.

Форма глагола споемте (от спеть) существует, более того, у этой формы есть свое название. Это форма повелительного наклонения совместного действия. Вот что сказано об этой форме в академической "Русской грамматике":

Формы совместного действия – это формы мн. ч.; обозначаемое ими побуждение всегда относится к двум или более лицам: к собеседнику (либо собеседникам, группе лиц, включающих собеседника) и к самому говорящему. Значение повелит. накл. у этих форм выражается при помощи постфикса -те, присоединяемого: 1) у глаголов сов. вида и у глаголов однонаправленного движения – к форме 1 л. мн. ч. изъявит. накл.: пойдемте, поедемте, идемте, летимте, плывемте; Ребята! Не Москва ль за нами? Умремте ж под Москвой (Лерм.); А, впрочем, станемте-ка лучше чай пить (Тург.); 2) у глаголов несов. вида (кроме глаголов однонаправленного движения) – к частице давай, соединяющейся с инфинитивом этого глагола: давайте петь, давайте играть; Давайте, – говорю, – ласковые, в жмурки по полянке бегать (Леск.). Частица давай(те) употребляется и при формах совместного действия глаголов сов. вида: давай(те) напишем; давай(те) сыграем; Зовет меня взглядом и криком своим И вымолвить хочет: Давай улетим! (Пушк.). Из возможных дублетных образований типа покормимте – давайте покормим, сыграемте – давайте сыграем более употребительны сочетания с частицей давай(те).

Как Вы, наверное, заметили, в современном русском языке формы типа "споемте" конкурируют с формой "давай споем", причем последняя постепенно вытесняет форму "споемте" (что можно объяснить общим стремлением русского языка к аналитизму, проще говоря, к образованию составных грамматических форм). Видимо, с явлением "вытеснения" грамматической формы "споемте" и связан Ваш вопрос о правомерности этой формы.

По значению и частично по структуре слово вырусь схоже со словом выродок (наличие глагольной приставки вы- со значением ‘исчерпанности действия’). При этом слово выродок имеет очевидные словообразовательные связи, словообразовательная цепочка, демонстрирующая этапы образования этого слова, выглядит следующим образом: родить → родиться → выродиться → вырождение → выродок.

Приставка вы- участвует исключительно в образовании глаголов от других глаголов, при присоединении к некоторым возвратным глаголам вносит значение ‘исчерпанности действия, названного производящим глаголом’: родиться → выродиться. Приставка сохраняется в словах, производных от глагола с приставкой вы-: выродиться → вырождение (отглагольное существительное, сохраняющее значение ‘исчерпанности действия, названного производящим глаголом’) → выродок (‘прошедший через вырождение’).

Так как приставка вы- может войти в состав производного слова только в том случае, если в словообразовательной цепочке, которая привела к образованию этого слова, был глагол, надо попробовать подобрать производящие глаголы и отглагольное существительное для слова вырусь, например: русеть (‘русифицироваться’) → *русить (сов. вид к русеть) → *руситься (возвратный) → *выруситься → *вырусение → *вырусок / вырусь. Кроме глагола русеть, все остальные глаголы в цепочке являются гипотетическими (отмечены знаком *), то есть возможными с точки зрения словообразовательной системы русского языка, но в действительности отсутствующими в языке. Кроме того, по имеющейся в языке модели должно было бы получиться слово *вырусок (ср. выродок), а не вырусь. Бессуфиксальный способ образования отглагольных существительных (или нулевая суффиксация) при обозначении лиц возможна только для существительных общего рода (например, мямлить → мямля, брюзжать → брюзга и т. п.), а слово вырусь к существительным общего рода не относится.

Таким образом, в языке отсутствует словообразовательная модель для этого слова. Вырусь — это новое слово (окказионализм), созданное с намеренным нарушением словообразовательных норм.

Отметим также, что слово является жаргонным и не зафиксировано ни одним из словарей русского языка.

Действительно, в данном случае деепричастный оборот не отходя от стола, являясь обстоятельством образа действия, тесно связан со сказуемым, образует смысловой центр высказывания и потому не требует обособления. 

Количественные числительные пишутся без наращений. Верные варианты: опера в 3 действиях, 7 картинах и опера в трех действиях, семи картинах. Выбор варианта зависит от того, где используется это предложение.

"Большой толковый словарь русского языка" считает слово "копировать" глаголом несовершенного вида (что делать?). При этом совершенный вид (что сделать?) - "скопировать". В Вашем примере подходят оба глагола, но если нужно особо отметить завершенность действия, лучше использовать глагол совершенного вида.

Ампутировать - двувидовой глагол (что делать и что сделать).

1. Охватывает гнев: мало мне забот и бед, так еще и непутевые дети.

2, 3. Корректно.

4. Я отошел и, будто с завистью к его счастью, сказал плохие слова.

5. Тревожная Ольга нарушила веление (?) и, ослушавшись, направилась в лес.

6. Пунктуация верна, однако объединение обстоятельств в ряд однородных стилистически неудачно.

Возможно как слитное, так и раздельное написание. При слитном написании утверждается несовершенство, при раздельном – подчеркивается отрицание (отрицается совершенство).

Сочетание недоступные ранее возможности допустимо.

Действительно, приставка недо- имеет значение неполноты, недостаточности (по сравнению с нормой), а раздельное написание не до-... используется, когда нужно обозначить не доведенное до конца действие. Поэтому глаголы недолюбил и недомечтал следует писать в этом контексте слитно.

Что касается глагола недописал / не дописал, то здесь есть аргументы как в пользу слитного, так и в пользу раздельного написания. Фраза, на наш взгляд, будет выглядеть гармоничнее, если все три глагола Вы напишете слитно.