Слово один несет в себе значение неопределенности (см., например, словарную статью один⁴ в «Большом универсальном словаре русского языка»), что заставляет понимать имена собственные как пояснения к этому слову и выделять их знаками препинания: ...рассказала одна из жительниц, Лилия; ...добавила еще одна жительница, Гульнара.

Написание гласной о здесь проверяемо, оно подчиняется морфологическому принципу русской орфографии. Слово шутовство образовано от шут при помощи суффикса -овств- — нерегулярной словообразовательной единицы, образующей имена существительные, которые обозначают явление, характеризующееся признаком, названным мотивирующим словом. В редких случаях этот суффикс ударен: женихо́вство, толсто́вство.

Написание регулируется правилом: в неофициальных устойчивых, в том числе образных, названиях государств и городов с прописной буквы пишется первое (или единственное) слово, а также (если они есть) собственные имена. Правильно: Город большого яблока. Ср.: Вечный город (о Риме), Белокаменная, Первопрестольная (о Москве), Северная Пальмира (о Петербурге).

Имена прилагательные, образованные от личных имен, фамилий, кличек при помощи суффиксов -ов (-ев) или -ин и обозначающие индивидуальную принадлежность, пишутся с прописной буквы: Володина изба. Однако прилагательные, образованные от личных имен и фамилий при помощи суффиксов -ск-, -овск- (-евск-), -инск-, пишутся со строчной буквы: сергеевская рубашка.

Личные имена, как правило, ограниченно образуют формы мн. ч. Имя Кузьма - не исключение: регулярных форм мн. ч. нет, но если такую форму по каким-то причинам нужно образовать, то она будет аналогичной формам других слов первого школьного склонения (таких, как жена, сестра, тесьма и т. п.).

В названиях войн с прописной буквы, как правило,  пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные: Японо-китайская война, Русско-японская война, Англо-бурская война, Первая мировая война, Вторая мировая война, Война за независимость (в США), Война Алой и Белой розы, Война Севера и Юга (в США).

Женские личные имена и мужские и женские фамилии, оканчивающиеся на -ая, склоняются. Фамилия Гурцкая склоняется следующим образом (на примере мужской фамилии): Александр Гурцкая, Александра Гурцкаи, Александру Гурцкае, Александра Гурцкаю, Александром Гурцкаей, об Александре Гурцкае. Женская фамилия Гурцкая склоняется аналогично.

Фамилия Трубецкая (Трубецкой) склоняется как прилагательное: Трубецкой, Трубецкую.

Возможны оба варианта, но они различаются по значению. Вопрос назрел – 'приблизился, стал неизбежным' (т. е. сформировалась ситуация, требующая решения), например: в связи с постоянными неудачами команды назрел вопрос о смене тренера. Вопрос созрел – 'сложился, принял законченную форму', например: он долго пытался сформулировать вопрос, и наконец вопрос созрел. 

Словарной рекомендации по поводу родовой принадлежности этого слова пока что нет. Можно использовать судоку как существительное женского рода (по родовому слову - игра или головоломка) или как слово среднего рода (так как несклоняемые имена существительные иноязычного происхождения, обозначающие неодушевленный предмет, в своем большинстве относятся к среднему роду).

Орфографически правильное написание — Российский международный олимпийский университет. В составных названиях организаций с большой буквы пишется только первое слово (и имена собственные, входящие в название). 

Видимо, в документах придется писать в соответствии с уставом, но за пределами юридически значимого контекста стоит придерживаться написания по орфографическому правилу.