В современном русском языке утрачены слова, объясняющие образование слова несдобровать. Однако есть возможность восстановить утраченные словообразовательные цепочки с помощью однокоренных глаголов, вышедших из употребления.

Во-первых, в словаре В. И. Даля обнаруживается глагол добровать, который современными словарями не фиксируется: 

ДОБРОВАТЬ — жить в добре, в обилии, покое, холе и довольстве. 

Глагол сдобровать является видовой парой совершенного вида для глагола добровать (ср.: делать — сделать).

Устаревшие глаголы добровать и сдобровать можно найти в произведениях художественной литературы.

Да так точно оно бы и случилось, коли нашелся бы у них, казаков, воевода решительный, — взял бы он в свои руки все дело — тогда бы где уж Верному сдобровать! (Д. Фурманов. Мятеж, 1924); Но разом стихло, как Петр Алексеич речь начал. — Хватит, господа, добровать — в покое жить! Надобен России могучий флот, дабы в полную силу войти. (А. Дорофеев. Вещий барабан, 2013).

В последнем примере устаревший глагол добровать используется для воссоздания атмосферы Петровской эпохи.

Наблюдения за функционированием глагола сдобровать показывают, что в произведениях художественной литературы XVIII-XIX вв. он очень часто употреблялся с отрицательной частицей не, которая писалась отдельно в соответствии с общим правилом написания не с глаголами.

По всей видимости, это употребление сохранилось, а глагол без частицы перестал использоваться. В соответствии с правилом написания слов, которые без отрицательной частицы не употребляются, слово несдобровать стало писаться слитно (ср.: негодовать, нездоровиться, недостает (в значении 'недостаточно'), неможется, нельзя, нестерпимый и т. п.).

От одного и того же глагола могут быть образованы как формы причастий, так и отглагольные прилагательные. Если для образования причастий и прилагательных используются разные по звуковому (буквенному) составу суффиксы, различить их несложно: от глагола гореть с помощью суффикса -ящ- образуется причастие горящий, а с помощью суффикса -юч- – прилагательное горючий. Если же и причастия, и прилагательные образуются с помощью суффиксов, имеющих одинаковый звуковой (буквенный) состав (например, -енн- или -им-), различить их труднее.

Однако различия между причастиями и прилагательными есть и в этом случае.

1. Причастия обозначают временный признак предмета, связанный с его участием (активным или пассивным) в действии, а прилагательные обозначают постоянный признак предмета (например, ‘возникший в результате осуществления действия’, ‘способный участвовать в действии’), ср.:

Она была воспитана в строгих правилах (=Ее воспитали в строгих правилах) – причастие;

Она была воспитанна, образованна (=Она была воспитанная, образованная) – прилагательное.

2. Слово в полной форме с суффиксом -н-(-нн-), -ен-(-енн)- является отглагольным прилагательным, если оно образовано от глагола несов. вида и не имеет зависимых слов, и является причастием, если образовано от глагола сов. вида и/или имеет зависимые слова, ср.:

некошеные луга (прилагательное),

не кошенные косой луга (причастие, т. к. есть зависимое слово),

скошенные луга (причастие, т. к. сов. вида).

3. Поскольку страдательные причастия настоящего времени могут быть только у переходных глаголов несов. вида, слова с суффиксами -им-, -ем- являются прилагательными, если они образованы от глагола сов. вида или непереходного глагола:

непромокаемые сапоги (прилагательное, т. к. глагол промокать в значении ‘пропускать воду’ непереходный),

непобедимая армия (прилагательное, т. к. глагол победить сов. вида).

См.: http://www.gramota.ru/book/litnevskaya.php?part4.htm#i7

Словообразовательный разбор

Схема разбора:

1)    Поставить исследуемое слово в начальную форму.

2)    К исследуемому слову подобрать производящее.

3)    Объяснить значение производного слова через значение производящего слова (слов).

4)    Выделить производящую и производную основы.

5)    В производном слове выделить средство словообразования.

6)    Указать способ словообразования и процессы, сопутствующие словообразованию.

Разбор слова поверье:

1)    поверье — начальная форма существительного;

2)    поверье ← поверить;

3)    поверье: ‘предание, основанное на суеверных представлениях, приметах, необычных явлениях чего-либо, в которое кто-либо поверил’;

4)     повери- — производящая основа, повер[j] — производная основа.

5)    средство словообразования — суффикс -j-, который на письме передается с помощью разделительного мягкого знака: повер[j-е];

Такое же словообразовательное средство с тем же значением используется при образовании других отглагольных существительных, например: бесчести-ть → бесчест[j-е] (бесчестье).

6)    способ словообразования — суффиксальный, при словообразовании происходит усечение производящей глагольной основы: повери-. 

Если необходимо разобрать слово по составу (морфемный разбор), то словообразовательный разбор дополняют:

1)    анализом всех словоизменительных морфем слова.

2)    анализом всех словообразовательных морфем в слове.

Для слова поверье при морфемном анализе нужно выделить:

1)    окончание -е, которое является окончанием им. падежа (или винит. падежа, если в такой форме слово стояло в предложении; формы именит. и винит. падежей у этого слова совпадают), ед. числа, ср. рода.

2)    Словообразовательную приставку по-, с помощью которой образовалось слово поверить от слова верить (способ словообразования — приставочный). Это глагольная приставка, которая образует глаголы совершенного вида от глаголов несовершенного вида, ср.: бить → по-бить, мирить → по-мирить и др.

Полный разбор по составу: по-вер-j-е

Слово смешанно пишется с двумя Н. В наречиях, образованных от прилагательных, пишется столько же Н, сколько в прилагательных: смешанный — смешанно.

Это опечатка, она родом из печатного издания «Большого толкового словаря». Исправили и сообщили главному редактору словаря С. А. Кузнецову. Спасибо за замечание!

Де пишется с дефисом по общему правилу: неплохо бы-де...

Такие конструкции не нарушают норм литературного языка, однако не всегда уместны в изданиях.

Да, эти конструкции одинаковы, во втором случае тоже следовало бы ожидать двоеточие. Но, во-первых, постановка тире по правилам пунктуации здесь тоже возможна, а, во-вторых, пунктуация в художественном (особенно поэтическом) тексте зачастую используется автором для усиления выразительности; автору «простительны» некоторые пунктуационные вольности.

Здесь же  Сергей Михалков поставил тире, по-видимому, для того, чтобы не перегружать предложение двоеточиями, ведь полностью оно звучит так:

Но зато на стадион
Проходил бесплатно он:
Пропускали дядю Степу –
Думали, что чемпион.

Во втором примере можно опустить двоеточие.