В этом предложении при существительном Петербург имеется два приложения и одно согласованное определение, все вместе образующие ряд. Элементы этого ряда можно перечислить через запятую, а можно какую-то часть ряда отделить более сильным знаком тире, подчеркнув его самостоятельность:

...Петербурга, его родного города, любимого и жестокого, прототипа всех будущих городов;
...Петербурга — его родного города, любимого и жестокого, прототипа всех будущих городов;
...Петербурга, его родного города — любимого и жестокого, прототипа всех будущих городов (определение любимого и жестокого относится к родному городу);
...Петербурга, его родного города, — любимого и жестокого, прототипа всех будущих городов (определение любимого и жестокого относится к Петербургу).

Если поставить тире перед последним приложением, то сочетание согласованных определений нужно закрыть запятой:
...Петербурга, его родного города, любимого и жестокого, — прототипа всех будущих городов.

"Справка" не выполняет домашних и тестовых заданий.

Название надо склонять. Написание родился в городе Москве возможно в канцелярской речи. Но лучше написать: родился в Москве.

В подобных конструкциях нужно ставить тире. Обратите внимание: сочетание лидеры по гостеприимству неудачно. 

Части предложения нужно разделить запятой: Ни в городе Богдан, ни в селе Селифан.

Правильно: Завод подарил городу еще одно граффито с изображением («)металлурга будущего(»). Кавычки факультативны, их постановка зависит от контекста.

Мы не выполняем домашние задания. 

Тире между подлежащим и сказуемым, выраженными существительными, обычно не ставится, если при сказуемом имеется отрицание не: Наш город не исключение. Но тире можно поставить, если надо логически или интонационно подчеркнуть сказуемое.

Согласно словарю Е. А. Левашова «Географические названия» (СПб., 2000), Нерюнгри – слово мужского рода.