Не существует какого-то отдельного специального правила, которое бы определяло, какие слова в названиях культов, сект, духовно-рыцарских  орденов, братств и пр. следует писать с прописной буквы, тем более если речь идет, как в Ваших вопросах, о названиях разного типа: с одной стороны, о реальных исторических наименованиях, а с другой — о вымышленных названиях в художественных произведениях.

В общем и целом можно руководствоваться правилом о написании названий учреждений, организаций, обществ, политических партий и объединений: в них с прописной буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные (ср.: Ливонский орден, Тевтонский орден, Мальтийский орден, орден Гроба Господня – здесь всё по правилу). Родовые наименования по общему правилу пишутся строчными. Но на орфографическое оформление конкретного названия могут влиять и употребление слова не в своем обычном значении, и традиция, связанная с названием: наименование, имеющее давнюю традицию употребления, может быть оформлено иначе, чем название, придуманное для современного художественного произведения в стиле фэнтези, например.

Написание рыцари Круглого стола зафиксировано академическим орфографическим словарем «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН. Этому не противоречит написание Рыцари Колумба, т. к. в данном случае Рыцари — первое слово в названии католического движения, к тому же здесь оно не в своем обычном «средневековом» значении.

Если говорить о написаниях типа орден Пылающей Розы / Пылающей розы, орден Черной Пантеры / Черной пантеры, то предпочтительно  по общему правилу писать орден Пылающей розы, орден Черной пантеры (ср.: Война Алой и Белой розы), но в художественных и стилистических целях, чтобы подчеркнуть образность названия, можно допустить и орден Пылающей Розы, орден Черной Пантеры. Однако в таких случаях, как культ Восставших из ада, где название состоит из нескольких слов, включая служебные, написание каждого слова с прописной будет совершенно неуместным.

В этом случае рекомендуем слитное написание, поскольку небезразличен русский можно заменить словами интересен русский.

Здравствуйте, Антон! Уж простите, но в тексте Вашего письма достаточно ошибок, которые не позволяют разглядеть в Вас тонкого знатока русского языка. Например: тавтология ввиду обстоятельств, сложившихся против моего желания ввиду нахождения; ошибка в согласовании деепричастного оборота Посмотрев результаты ОГЭ, мне не хватило; прописная буква в этикетной формуле С Уважением.

О фразе эмоции дополняют моменты вне контекста судить не слишком просто, однако полагаем, что в ней содержится ошибка как лексической сочетаемости (дополнять друг друга могут вещи одного порядка: например, холодное не может дополнять синее), так и ошибка грамматическая (неясно, кто кого дополняет).

См. ответ на вопрос № 276688.

Здесь есть ошибки. Верно: на что-нибудь одежду надеваем.

Национальный корпус русского языка не является нормативным источником. См. примеры из книжных изданий: Египтяне были весьма подкованны в астрономии (И. Прокопенко. Гости из космоса. 2019); Ньютон и другие ученые были вполне подкованны, чтобы сделать вывод... (Стивен Хокинг. Вселенная Стивена Хоккинга. 2018); Я сказала, что для этого нужно иметь политическое образование, а я для этого недостаточно подкованна (З. Пастернак. Воспоминания. Письма. 2016).

Написание кристальный надо запомнить как исключение.  Таких слов-исключений, где двойные согласные упрощаются, не очень много, вот основные: кристальный, кристален (хотя кристалл), акапельный, акапельно (хотя а капелла), финский, Финляндия (но при этом финны), оперетка, опереточный (хотя оперетта), будёновка (хотя Будённый).

Кроме того, регулярно упрощается сочетание согласных нн перед суффиксами -к-, -чат-, -ец, -щин-, -и/ь(е), напр.: манка (манная), колонка (колонна), колончатый (колонна), трехтонка (тонна), антенка (антенна), оборонка (оборонн-ый), выделенка (выделенн-ый) и др. Упрощаются двойные согласные в уменьшительных и фамильярных формах личных имен с суффиксом -к-, напр.: Алка (Алла), Жанка (Жанна), Савка (Савва). 

Написания кристаллик, кристаллический подчиняются общему правилу, написание двойных согласных здесь сохраняется.

Правило звучит так: в названиях исторических эпох и событий, календарных периодов и праздников с прописной буквы пишется первое слово (которое может быть единственным). Слово исторических здесь ключевое: дело и в разной «историчности» события («войну токов» вряд ли можно назвать исторической эпохой, кавычки тут будут уместны), и в исторической дистанции (недавние события могут еще не осознаваться как исторические и не иметь статуса имени собственного). Например, Смута была давно, а перестройка была недавно; Смута уже точно осознается как название определенного периода в истории России, а годы перестройки в историографии будущего, возможно, станут частью какого-то другого, более обширного исторического периода. 

Часто на написание влияет идеология: например, еще совсем недавно требовалось писать первая мировая война, вторая мировая война, и только начиная с 1990-х эти названия исторических событий стали оформляться по общему правилу. Кроме того, на словарную фиксацию может влиять практика употребления, а она тоже может меняться, особенно если речь идет о событиях недавнего прошлого. Так что написание названий исторических событий, по-видимому, обречено на внутренние противоречия — в силу специфики самого материала.