Ненужное следует писать слитно.
Корректно написание со строчной буквы: южная столица Кузбасса. Это описательный оборот, он пока не воспринимается как образное название.
В этом предложении подлежащее — океан, один — определение, ещё — частица, не член предложения.
Названия континентов пишутся с прописной, например: Африканский континент. Но название, о котором Вы спрашиваете, выглядит странным: в состав Латинской Америки входят страны, находящиеся на двух континентах — в Северной и Южной Америке.
Слово южноамериканский пишется слитно как сложное прилагательное с подчинительным отношением основ. Но: Южно-… – первая часть сложных прилагательных в составе географических названий, которая пишется через дефис перед прописной буквой второй части, напр.: Южно-Американская платформа.
Да, написание верное.
Орфографически верно: Восточно-Европейский регион. В названиях, начинающихся на Северо- (и Северно-), Юго- (и Южно-), Восточно-, Западно-, Центрально-, с прописной буквы пишутся (через дефис) оба компонента первого сложного слова. Ср.: восточноевропейская природа (нет собственного наименования).
Правильно: Республика Корея.
