Трудности с определением родовой принадлежности возникают у нас только в том случае, если существительное несклоняемое. Не вызывает сомнения принадлежность слова Алтай к мужскому роду: это название склоняется как обычное имя существительное второго (по школьной грамматике) склонения типа чай, сарай и т. п., поэтому мы сразу определяем его как слово мужского рода (род существительного, являющегося родовым понятием, – республика – не имеет в данном случае никакого значения, ср.: Москва – существительное женского рода, хотя город – существительное мужского рода).

А вот в том случае, когда географическое название – несклоняемое существительное, его род (в большинстве случаев) определяется по грамматическому роду нарицательного существительного, выступающего в роли родового понятия. Коми, действительно, существительное женского рода (определяем по слову республика), правильно: Золотая Коми. Ср.: Капри – мужской род (остров),  Дели – мужской род (город), но: Миссури – женский род (река).

Общей закономерности нет, каждое слово проверяется в словарном порядке (по словарю).

Да, эти слова склоняются так же, как существительное чай.

Все три варианта возможны.

Не обособляется частица чай, подчеркивающая достоверность высказывания (то же, что ведь, все-таки). Но выделяется запятыми вводное слово чай, выражающее допущение, предположение (то же, что вероятно, пожалуй): Озяб, чай?

В Вашем примере запятая не нужна: Чай я не барыня какая (= я ведь не барыня).

Правильно: могу предложить чай с лимоном (винительный падеж).

Чай производства Германии чаще называют немецким, чем германским. Другие значения у этих словосочетаний предположить трудно.

1. Будете (см. в 11">Правилах). 2. В течение (см. ответ № 210033).

Названия сортов напитков (вин, кофе, чая и др.) принято писать с маленькой буквы, без кавычек: кофе арабика, чай каркаде, вино рислинг.

Допустимо: выпить чая, выпить чаю, выпить (весь) чай. Вариант выпить чаю более употребим в разговорной речи.