Все эти варианты возможны.
Да, следует писать строчными буквами.
На месте трех вопросительных знаков ставится запятая. В конце предложения вместо вопросительного знака нужно поставить точку.
Словарные рекомендации противоречат друг другу.
В «Справочнике по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой (М., 2010) указано, что официальные названия республик обычно согласуются со словом республика (т. е. склоняются), если оканчиваются на -ия, -ея (в Республике Болгарии, с Республикой Индией), и не согласуются, если оканчиваются на -а или имеют форму мужского рода (в Республике Куба, из Республики Панама, в Республике Вьетнам).
В то же время в «Словаре географических названий» А. В. Суперанской говорится, что в сочетании со словом республика названия республик женского рода обычно склоняются (независимо от окончания): в Республике Колумбии, из Республики Кубы. А вот названия республик мужского рода несклоняемы в функции приложения (здесь противоречия между справочниками нет): из Республики Нигер.
Впрочем, в официальных документах все названия республик, выступающие в роли приложения, часто остаются несклоняемыми.
Это местоименное прилагательное.
Если Вас интересует словарь современного русского языка, то рекомендуем «Большой толковый словарь русского языка» под редакцией С. А. Кузнецова и «Толковый словарь русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой.
