Об обособлении слов по сути см. в "Справочнике по пунктуации".
Согласно «Большому толковому словарю русского языка» под редакцией С. А. Кузнецова возможны оба варианта: ехать на машине и ехать в машине. Однако Д. Э. Розенталь при выборе предлога дает следующие рекомендации: предлог на обычно употребляется при названиях средств передвижения: ехать на машине, а употребление предлога в предполагает нахождение внутри предмета: сидел в машине.
Да, эта фамилия склоняется.
Да, Вы употребили это выражение правильно.
Запятые нужны: Поэтому говорить о расколе штаба нельзя, ведь, по сути, он еще находится в процессе формирования.
Чаще эти слова обособляются как вводные. Ср. пример необособления: говорить, выступать по сути дела (т. е. по сути вопроса).
Правильно раздельно: не суди, да не судим будешь.
