Лучше всего: (школьная) олимпиада по истории.
В научном тексте корректно использование строчной буквы: Некоторые работы ученого посвящены истории отечества.
Возможны оба варианта, но с разными оттенками значения. В значении 'отнюдь не, вовсе не' – раздельно.
Вопрос на засыпку – очень сложный вопрос; вопрос, заданный специально, чтобы отвечающий ошибся или не смог ответить (первоначально – такой вопрос на экзамене). Засыпка – от засыпать – разг. провалить на экзамене.
Возможны оба способа оформления.
В правилах орфографии не предусмотрено написание заглавными буквами названий, кроме аббревиатур. Условные названия заключаются в кавычки и пишутся с заглавной буквы: светильник серии «Ясень».
Обычно это выражение употребляется, когда речь идет о больших промежутках времени (хотя бы 50 годах).
Корректно: фан-променад.
Это сочетание пишется строчными буквами.