Правильно: вне зависимости от... (или независимо от...).
Правилен первый вариант.
Справочники рекомендуют первый вариант.
Первый вариант предпочтителен.
Трудно дать однозначный ответ, не зная контекста. Если это прозвище доктора, которое функционирует как имя (в том числе, например, имя персонажа художественного произведения), правильно писать оба слова с прописных, например: «Вот и всё», — сказал Умелые Руки, закончив перевязку. Если же речь о том, что доктор умелец, корректно строчными, например: Василий у нас доктор «умелые руки», советую к нему обратиться. Ср. также: доктор у нас умелые руки.
Верно: обратила внимание на наложенную на левую руку повязку.
Здесь простое глагольное сказуемое, выраженное формой сложного будущего времени: будем работать.
