Верно написание этих сочетаний строчными буквами.
Слово ностальгировать входит в состав современного русского языка. Если Вы спрашиваете о происхождении этого слова, то исконно русским оно не является, корни у этого слова греческие.
Сведения об их происхождении есть в этимологических словарях. Это слова общеславянского фонда.
Существуют глагольные формы мужского, среднего и женского рода, а также множественного числа прошедшего времени.
См. в "Письмовнике".
Правильно: Московский государственный ансамбль танца «Русские сезоны».
Полное официальное название страны: Республика Беларусь, краткое - Беларусь. Сфера употребления названия Белоруссия сегодня – обиходная (неофициальная) устная и письменная речь.
Оба варианта возможны: писать по-русски, писать на русском языке.
