Правильно: промок под дождем.
Правильно: слОты.
Правильно: пол чайной ложки. Пол... пишется раздельно, если относится к сочетанию слов (ср.: пол-Москвы, но: пол Московской области).
Вы написали правильно. В обороте пол столовой ложки часть пол относится к целому сочетанию столовой ложки.
Лучше написать танец на пилоне. Если это не подходит, на наш взгляд, предпочтительно: пол-дэнс.
Винительный.
Верны варианты: ознакомить под подпись, ознакомить под расписку. См.: Подпись, роспись и виза.
МОЛ, частица
Указывает на то, что говорящий передает чужие слова, чужое мнение или приводит свои слова, сказанные в другое время. Обособляется, сближаясь по значению с вводными словами, указывающими на источник сообщения.
Ей бы попросить смирненько: так и так, мол, сделайте божескую милость, – а она тут по-своему... В. Короленко, Чудная. Из-за холмов неожиданно показалось пепельно-седое кудрявое облако. Оно переглянулось со степью – я, мол, готово – и нахмурилось. А. Чехов, Степь. Человек объявляет вам, и таким спокойным голосом: «Я, мол, намерен жениться»… И. Тургенев, Вешние воды.
Правильно: на пол (уронить, упасть, лечь и т. д.).
Да, ставится запятая.
