Директор – должность, академик – звание, доктор наук – ученая степень. Наименования ученых степеней и ученых званий и почетные звания выступают в общем ряду как однородные приложения. А должность и звание – неоднородные приложения. Поэтому первая запятая не нужна, вторая нужна: директор Института Европы РАН академик РАН, д. э. н. Николай Шмелев.
Вы правы, здесь должно быть не.
Как правило, при разборе по членам предложения используют специальную систему подчеркиваний.
См. словарную фиксацию.
Фамилия не склоняется.
Обе фамилии склоняются (и мужские, и женские варианты) как существительные первого школьного склонения (доска, рука).
Запятую ставить не нужно, так как оборот с союзом как имеет значение образа действия и его можно заменить наречием по-песьи.
Имя Ара склоняется по модели папа: папы Ары, папе Аре, папу Ару и т. д.
