Возможны варианты пунктуации: На пике своей активности, а точнее, после выборов молодежная палата прекратит свое существование. На пике своей активности, а точнее после выборов, молодежная палата прекратит свое существование. На пике своей активности, а точнее – после выборов, молодежная палата прекратит свое существование. См. «Справочник по пунктуации» (примечание 3 к пункту 2).
Запятая поставлена правильно. Плохо: изложена... предложенной, попробуйте переформулировать предложение.
Ударение падает на второй слог: весОв.
Запятая поставлена верно.
Гласный при склонении не выпадает: Вацлава Гавела, Вацлаву Гавелу и т. д.
Базу данных Диалектологического атласа русского языка можно найти на сайте Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН.
Выбор написания зависит от контекста и авторского замысла. Если стоит задача передать на письме бытовую, непринужденную речь, такое написание (строчными и без кавычек) уместно. Если контекст выходит за рамки обиходно-разговорного, понадобятся кавычки и прописные буквы.
Такая пунктуация возможна (слова в интересах малолетнего Павла обособляются для смыслового выделения).
