Согласно «Грамматическому словарю русского языка» А. А. Зализняка, Бангладеш – существительное женского рода: далекая Бангладеш.
Да, конечно. Например: На смену декабрям приходят январи (Б. Окуджава).
Названия коктейлей, ставшие именами нарицательными, употребляются без кавычек (мохито, джин-тоник, апероль-шприц, дайкири). Остальные названия заключаются в кавычки и пишутся с прописной буквы («Кровавая Мэри», «Куба либре», «Ржавый гвоздь»).
При написании названий сайтов действуют общие правила: названия пишутся с прописной буквы и заключаются в кавычки: порталы «Яндекс», «Рамблер», «Культура письменной речи»; социальные сети «Фейсбук», «ВКонтакте» (официальное название этого ресурса именно такое, хотя оно противоречит нормам русского письма; должно быть: «В контакте», ср.: журнал «За рулем», не «ЗаРулем»).
Компонент после точки (если он присутствует в названии) пишется строчными: «Грамота.ру» (см.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011).
Полагаем, что в бытовом употреблении (при передаче на письме разговорной речи) допустимо написание строчными без кавычек: пост в фейсбуке, проверить слово на грамоте, рекламная ссылка из гугла, фото в инстаграме (здесь возможна аналогия с пунктами правил, описывающими бытовое употребление названий торговых марок, изделий и товаров).
Веб-адреса сайтов (написанные как латиницей, так и кириллицей) пишутся строчными: www.gramota.ru; президент.рф.
Названия, написанные латиницей, в текстах на русском обычно пишутся без кавычек.
Да, название компании заключается в кавычки и склоняется (если представляет собой склоняемое слово): я работаю в «Моторе».
Точка в конце предложения ставится. Но читатель должен понимать, что она не относится к адресу сайта (в этом случае ссылку можно сделать активной или, если речь идет о печатном издании, подчеркнуть ее).
Правильно: петушинский, петушковский. Спасибо за поздравление!
