Оба варианта возможны, а что касается выбора одного из них, то заранее сделать это не получится: ни замысел автора, ни содержательные особенности конкретного текста, ни его стилистическая принадлежность не известны.
Едва ли найдутся основания оценивать как правильный только один из этих двух вариантов. Глаголы выйти и войти употребляются в сочетаниях со словами интернет и соцсеть без каких-либо ограничений. Выбор конкретного глагола определяется, как можно полагать, субъективными представлениями авторов высказываний и условиями входа или выхода в интернет-сеть. Слово ТГ-канал при описании похожей ситуации обычно используется в сочетании с глаголом заходить и предлогом на.
Это слово не нужно заключать в кавычки.
Ответ Вы найдете в этой статье: Как писать слово Интернет?
Склоняется.
Правильно: на сервере, граничащем.
Существительное Интернет пишется с прописной (большой) буквы. Сложные слова с первой частью интернет-... пишутся строчными буквами.
Склоняется.
