Сочетание 35 лет играет роль несогласованного определения при имени собственном Иванова И. И. Несогласованные определения, относящеся к именам собственным, обособляются (см. пункт 1 параграфа 18.1 справочника по пунктуации Д. Э. Розенталя).
Слово заведующий управляет творительным падежом: заведующему (чем?) Муниципальным бюджетным дошкольным образовательным учреждением «Детский сад № 121» Лебедевой Наталье Алексеевне.
Постановка запятой не требуется.
Запятая факультативна.
В обоих случаях правильно слитное написание.
Корректно: В пятнадцатилетнем возрасте он поступил в музыкальное училище по классу скрипки.
Если нужна именно такая фраза, то верно: По достижении ею 53-летнего возраста и возникновении права на получение пенсии были собраны необходимые документы.
Знаки препинания расставлены верно, дополнительные запятые не нужны.
Запятая не ставится.
Запятая нужна. Обособляется определительный оборот, стоящий после определяемого слова.
