Названия факультетов и кафедр пишутся строчными. Институт пишется с прописной только как первое слово официального названия.
Возможны те и другие сочетания в зависимости от контекста. Например: возьми из ящика, возьми в другой комнате.
Лучше написать "из управления".
Запятые не нужны. Не обособляется деепричастный оборот, если перед ним стоит усилительная частица и.
Запятая ставится по усмотрению автора (если считать полностью цифровая пояснением, то запятая ставится).
Корректно: отдел внешних коммуникаций и управления карьерой.
Слоговые аббревиатуры (как в Вашем случае) склоняются при отсутствии родового слова.
Указанные в скобках запятые в обоих предложениях не нужны. Название должности играет роль приложения к имени собственному, а не наоборот. Имя собственное может играть роль приложения к названию должности, если является попутным пояснением, что к приведенным случаям не относится.
