Словари
лже... – первая часть сложных слов, пишется слитно, но: Лже-Неро́н, лже́-социа́л-демокра́т, лже-Христо́с
ЛЖЕ... Первая часть сложных слов, которая может быть выделена сильным ударением при определённых условиях во фразе, напр.: Вот у кого, а вовсе не у толпы лжѐучителе́й должны поучиться законодатели. Чуковская. Дом поэта.
лже- см. будто
Ответы справочной службы
Первая часть сложных слов лже... пишется слитно: лжеюристы.
Корректно написание через дефис: лже-Дмитрий.
Скорее всего, в презентации речь шла о правилах координации, согласно которым «недопустимо слитное или дефисное написание с приставкой или первой частью сложного слова, если вторая часть содержит пробел, т. е. представляет собой сочетание слов»: лже доктор наук, мини стиральная машина, пол рабочего дня. Другое дело, что пример (пол)квартиры отца в контексте этого правила неудачный, поскольку может иметь разный смысл. Если вся квартира принадлежит отцу и речь идет о половине этой квартиры, то верно написание пол квартиры отца. Если же отцу принадлежит не вся квартира, а только половина и речь идет именно об этой половине, то верен вариант полквартиры отца.
Согласно правилам координации, верно: лже азартные игры, лже-онлайн-казино.
Правильно раздельное написание, т. к. часть лже относится к сочетанию слов: лже сотрудник МВД.
Справочники
Вводные замечания Назначение этих правил — предупреждать появление таких написаний, которые следуют из основных правил, но нарушают сложившиеся закономерности сочетаемости букв в слове или затрудняют правильное понимание смысловых отношений между соединяемыми языковыми единицами. Другое их название — правила координации — показывает, что сущность этих правил состоит в учете соотношений между слитным, дефисным и раздельным написаниями.
...Например, следует писать: лже доктор наук, псевдо произведение...
