По правилам русского языка фамилия Чайка склоняется: Школа-интернат села Некрасовка имени Пайтана Герасимовича Чайки.

Правильно: учащийся муниципального общеобразовательного учреждения «Школа-интернат», учащийся МОУ «Школа-интернат».

Да, причастный оборот нужно выделять запятыми с двух сторон во всех приведенных примерах.

С прописной (большой) буквы пишется первое слово официального названия организации. Если слово областная начинает собой полное официальное название, оно пишется с прописной.

Да, это так. В сочетаниях с приложением, если одна из частей содержит пробел, вместо дефиса должен употребляться знак тире: школа-интернат, но средняя школа – интернат.

Да, кавычки в таких случаях ставятся: Государственное специальное (коррекционное) образовательное учреждение для обучающихся, воспитанников с отклонениями в развитии «Специальная (коррекционная) общеобразовательная школа-интернат», Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 6», Государственное образовательное учреждение для детей, нуждающихся в психолого-педагогической помощи «Краевой центр психолого-социального сопровождения».

Женского рода (род определяется по слову школа).