Ответы справочной службы
Нет, у этих слов разное происхождение. Хиреть восходит к той же основе, что и хворый, хворать.
Страница ответаПравильно писать через Е. Пушкин использовал другое слово, а именно хиреть - "становиться хилым".
Страница ответа