Возможны оба варианта, но предпочтительно: не знает предмета. Общее правило: слова, зависящие от глагольной формы с отрицанием, могут стоять в форме как родительного, так и винительного падежа, если в зависимости от глагола без отрицания они употребляются в винительном падеже: знает предмет – не знает предмета / предмет. Но при глаголах восприятия мысли (в том числе знать) обычно употребляется родительный падеж.

Предпочтительно склонять фамилию тренера без выпадения гласной: нет Знарока, к Знароку и т. д.

Спасибо за дополнение!

Верно обедали у Стрижей, Стрижи хранят тайну. Но: у супругов Стриж, семья Стриж.

Чирка, Чирки, Чирке, Чирку, Чиркой, о Чирке. Так склоняется и мужская, и женская фамилия.

Склоняются обе части сочетания "учреждение-управление".

Виталию Павлюку. А вот женскую фамилию склонять не следует.

Это сочетание написано верно.

Да, все верно.

В официальных текстах верно: заведующему сектором социальной и воспитательной работы.