Словари
прокуратура, -ы
Генеральная прокуратура РФ
Ответы справочной службы
Слово прокуратура также пишется со строчной буквы.
Верно: ...требовать для него жесткого приговора.
В этом случае нужно руководствоваться нормативными правовыми актами. Их можно найти, например, в электронной базе "Консультант плюс" (и аналогичных).
Справочники
§ 189. В официальных составных названиях органов власти, учреждений, организаций, научных, учебных и зрелищных заведений, обществ, политических партий и объединений с прописной буквы пишутся первое слово и входящие в состав названия имена собственные, а также первое слово включаемых в них названий других учреждений и организаций, напр.: Всемирный совет мира, Международный валютный фонд, Европарламент, Организация по безопасности и сотрудничеству в Европе, Федеральное собрание ...
...Названия органов власти, учреждений, организаций, обществ...
...фонд, Европарламент, Организация по безопасности и сотрудничеству в Европе, Федеральное собрание РФ, Государственная дума, Московская городская дума, Законодательное собрание Ростовской области, Государственный совет, Генеральный штаб, Конституционный суд РФ, Высший арбитражный суд РФ, Генеральная прокуратура...
