Словари
приле́чь, -ля́гу, -ля́жет, -ля́гут; прош. -лёг, -легла́
ПРИЛЕ́ЧЬ, приля́гу, приля́жет; прилёг, прилегла́, прилегло́, прилегли́ \\ [п]риле́чь; в форме прилегли́ – приле[г]ли́; в формах с сочетанием гш: прилёгший... – при[л’о́]гший (! неправ. приле́гший... – при[л’е́]гший).
Ответы справочной службы
Расширение употребления предлога НА в данном случае понятно: если раньше "касса" все-таки была отдельным помещением, отделением какого-либо предприятия, а также кассовым аппаратом, то сегодня все чаще касса - это место расчетов покупателя и продавца, совсем не обязательно в отдельном помещении. Изменения в языковой практике, таким образом, просто отражают житейские реалии.
Что же касается нормативности такого употребления, то ситуация неоднозначна. Литературной норме соответствуют предложные варианты: пройти к кассе, пройти в кассу; оплатить в кассе.
