Метасловарь Всё о слове из всех словарей
не напрасно, нареч.
Ответы справочной службы
Не зря в значении "не напрасно" пишется раздельно. Наречие не требует обособления.
Если имеется в виду деепричастие от глагола зреть — то же, что "не глядя", то оно также пишется раздельно с не, но обособляется.
Страница ответаКак правило, используется именно раздельное написание: не напрасно.
Страница ответаУчебник
Написание НЕ с наречиями нередко вызывает трудности. Чтобы не ошибиться невзначай, не спеша прочитайте правило и внимательно, не впопыхах, сделайте упражнения к нему.
...Написание НЕ с наречиями нередко вызывает трудности...
...Написание таких наречий следует проверять по орфографическому словарю, например: не особенно, не бесплатно, не вечно, не горько, не единогласно, не единодушно, не ежегодно, не напрасно, не нарочно, не рано, не странно, не срочно....
...НЕ с наречиями...