Словари
недоумевать, -аю, -ает
НЕДОУМЕВАТЬ, недоумеваю, недоумевает \\ нед[əу]мевать u нед[yу]мевать, в беглой речи возможно нед[у]мевать; в формах с сочетанием ющ: недоумевающий... – недоумева[йу]щий u недоумева[и]щий.
Ответы справочной службы
Глаголы, которые без не не употребляются (недоумевать), глаголы с составной приставкой недо- в значении неполноты (недосолить), глагол недоставать в значении "быть в недостаточном количестве", "быть нужным" (недостает терпения; только этого недоставало).
Пишутся слитно с НЕ глаголы, которые без НЕ не употребляются: негодовать, недоумевать. Есть глаголы с приставкой недо-, обозначающие, что действие выполнено ниже нормы: недоставать, недоплатить.
Справочники
§ 145. Вне зависимости от грамматической принадлежности слова отрицание не пишется слитно в следующих случаях. Если после не, имеющего отрицательный смысл, следует часть слова, отдельно (без не) в качестве самостоятельного слова не существующая, напр.: существительные: небылица, неваляшка, невежество, невежда, невзгода, невидаль, невидимка, невольник, негодяй, недотрога, недуг,незабудка, ненависть, ненастье, неполадки, непоседа, неряха, несмышлёныш, неудачник, нехристь;
...Слитное написание не...
...нескончаемый, несмолкаемый, несомненный, несравненный, несуразный, несчастный, неуклюжий, нестерпимый, непоколебимый, непререкаемый, неукротимый; небрежно, нелепо, необходимо, несомненно; глаголы: невзвидеть, невзлюбить, негодовать, недомогать, несдобровать, ненавидеть, нездоровиться, неможется, недоумевать...
