Словари
каре́, нескл., с. и неизм.
Ответы справочной службы
Правило существует для конца слов. В конце иноязычных слов после как твердых, так и мягких согласных пишется буква е, напр.: алиготе, амбре, анжанте, антре, апплике, аутодафе, безе, буриме, бурре, галифе, глясе, гофре, декольте, де-юре, кабаре, канапе, карате, каре, консоме, купе, кураре, кюре, макраме, мачете, моралите, нотабене, падре, пенсне, пике, пирке, плиссе, подшофе, пюре, резюме, реноме, руте, саке, соте, суаре, сюзане, тире, удэге, форте, фрикасе, фуэте, экспозе, эмансипе, эссе (кроме удэ, мохэ).
О собственных именах в правилах русской орфографии говорится, что во многих именах иноязычного происхождения пишется буква э. Как передавать по-русски японское имя, нужно спросить у специалистов по передаче японских собственных имен. Мы можем только констатировать, что в текстах встречаются оба варианта.
Если имеется в виду прическа, сочетание корректно.
Правильно: стрижка каре.
Справочники
Буквенные аббревиатуры и сложносокращённые слова1Следует различать 1) сложносокращённые слова, составленные из сочетаний: а) усеченных cлов и полных слов (спецодежда); б) одних усеченных слов (колхоз); 2) аббревиатуры, составленные из начальных букв полных наименований и разделяющиеся: а) на читаемые по названиям букв (МТС); б) на читаемые по звукам, обозначаемым буквами (вуз)., кроме тех из них, которые общепонятны и имеют широкое распространение (СССР, КПСС, профсоюз, вуз и др.), не ...
...», «каре.», «карель....
