Словари
Ответы справочной службы
В значении 'занятый, заполненный содержимым' требуется форма родительного падежа: две корзины, полные грибов.
Корректно: занято́й (! не рек. занятый...) в значении "постоянно обременённый делами".
Слово день тут ни при чем. Непроизносимый согласный в словах праздник, праздничный можно проверить краткой формой исторически родственного им прилагательного праздный 'не занятый делом, работой': празден. Но в школьной практике праздник чаще дается как словарное.
Занятый – причастие, обозначает временный признак: занятый кубиками малыш. Занятой – прилагательное в значении 'не имеющий свободного времени, обременённый делами, работой', обозначает постоянный признак: вечно занятой отец.
Гласная О в окончании прилагательного возможна только под ударением.
