ВПРОЧЕМ, вводное слово и союз 1. Вводное слово. Указывает на то, что автор переходит к другой мысли или, высказывая свою мысль, испытывает нерешительность, сомнение. Подробно о пунктуации при вводных словах и сочетаниях см. в Прил. 2. Одолеваемый этими горькими мыслями, не совсем, впрочем, справедливыми и навеянными взволновавшим его письмом Аниканова, Травкин вышел из овина в холодный рассвет. Э. Казакевич, Звезда. Был Кузнецов сиротой, как, впрочем, можно ...

...когда вспомнил, что он будет иметь чрез то случай пройтись...

СЕРЬЕЗНО, вводное слово То же, что «в самом деле, действительно, правда». Подробно о пунктуации при вводных словах и сочетаниях см. в Прил. 2. Серьезно, сижу и думаю: хорошо бы пройтись босиком по селу! В. Шукшин, Дебил. ! Не смешивать с употреблением в роли члена предложения. Леля слушала и глядела на дядю, прямо в лицо, очень серьезно, неподвижно, не мигая глазами, как дорогая кукла. А. Чехов, Калека. Он действительно был серьезно болен. Л. Кассиль, Кондуит и Швамбрания.

...Серьезно, сижу и думаю: хорошо бы пройтись босиком...

Начальной формой глагола является его неопределенная форма, или инфинитив. Глагол в инфинитиве отвечает на вопросы что делать? или что сделать? и имеет только постоянные признаки переходности (читать — перех., спать — неперех.), возвратности (мыть — мыться) и вида (решать — несов. вид, решить — сов. вид). Формальными показателями инфинитива являются формообразующие суффиксы -ть (чита-ть), -ти 

...желание поспать), обстоятельством (Я пошел пройтись...