Вопрос Как правильно: нет доказательств тому, что или нет доказательств того, что...?  Падеж управляемого слова зависит от его частеречной принадлежности. Если зависимсое слово – имя существительное, то род. п.: доказательство чего – доказательство теоремы, доказательство правоты; доказательства вины. Если зависимое слово – указательное местоимение, то дат. п.: доказательство чему  – доказательством тому служат ...

...Вопрос Как правильно: нет доказательств тому,...

ВЕРНЕЕ, вводное слово То же, что «лучше сказать; говоря более точно». Подробно о пунктуации при вводных словах и сочетаниях см. в Прил. 2. Я, конечно, был виноват решительно меньше всех, вернее, совсем не виноват и даже отговаривал товарищей... Д. Мамин-Сибиряк, Дурной товарищ. Она читала книгу – вернее, делала вид, что читает… Ф. Искандер, Рассказ о море. Все знали и говорили или, вернее, шептали, что прокурор Евпраксеин ...

...ВЕРНЕЕ, вводное слово То же, что «лучше...

А ВСЁ-ТАКИ / ВСЁ Ж(Е) / ВСЁ Ж ТАКИ / ВСЁ-ТАКИ, частица Не требует постановки знаков препинания. Жены думают, любя, // Что иное слово // Всё ж скорей найдет тебя // На войне живого. А. Твардовский, Василий Теркин. В той песне казак пану всю правду сказал, что с паном будет, и пан плачет, даже слезы у пана текут по усам, а всё же ни слова, видно, из песни не понял. В. Короленко, Лес шумит. ...Кандидат Константин Иванович всё же 

...А ВСЁ-ТАКИ / ВСЁ Ж(Е) / ВСЁ Ж ТАКИ / ВСЁ-ТАКИ, ...