Хуже горькой редьки (прост.) - очень сильно, невыносимо (надоесть). На Руси редька, как и репа, была одним из повседневных кушаний. Особенно часто редьку ели в долгие посты, и тогда редька особенно надоедала.

...Особенно часто редьку ели в долгие посты, и тогда редька...

Шапочное знакомство – поверхностное, беглое знакомство с кем-либо. Выражение собственно русское, связано с русским этикетом. Раньше у мужчин среди высших сословий было принято при приветствии приподнимать шляпу, если встречались знакомые или приятели, только друзья пожимали друг другу руки, и только близкие друзья или родственники при встрече обнимались; выражение шапочное знакомство показывает, что знакомые только приятели, а не друзья. По другой ...

...дома было принято ходить с покрытой головой; дома же шапку...

Шить деревянными иглами (устар.ирон.) - разбойничать. Под деревянной иглой здесь имеется в виду разбойничья дубина. Выражение употреблялось в языке прошлого века:  «Была ярмарка, на которой промысловый народ - портные, что шьют деревянными иглами по большим дорогам, опорожнили целую лавку, подломав или подкопав целый балаган» (В. Даль,  «Подполье. Картинки русского быта»).

...деревянными иглами по большим дорогам, опорожнили целую лавку...

Трубка мира - символ мира и согласия. Происхождение выражения связано с обычаем североамериканских индейцев при заключении мира выкуривать с врагами общую трубку. Об этом обычае стало широко известно после выхода в свет поэмы Г. Лонгфелло «Песнь о Гайавате».

...индейцев при заключении мира выкуривать с врагами общую трубку...

Улыбка авгуров - обмен улыбками людей, хорошо понимающих друг друга; улыбка обманщиков. Авгурами в Древнем Риме назывались жрецы, толковавшие волю богов по полету и крику птиц. Оратор, писатель и политический деятель Марк Туллий Цицерон в своей книге «О гадании» рассказывает, что, обманывая веривших в их предсказания, авгуры при встрече друг с другом едва удерживались от смеха.

...назывались жрецы, толковавшие волю богов по полету и крику...

Соломенная вдова (шутл.) - жена, временно оставшаяся без мужа или не живущая с ним. Фразеологизм образован путем калькирования немецкого сложного слова Strohwitwe, связанного со средневековым обычаем: девушку, родившую внебрачного ребенка, в наказание выставляли публично на позор с соломенным венком на голове. Ее называли Strohbraut - соломенная невеста. Связка соломы служила у немцев, русских и некоторых других народов символом заключенного договора - выдачи ...

...;Strohwitwe, связанного со средневековым обычаем: девушку...

Спокон (испокон) веков (века), испокон веку (книжн.) - с давних пор,  издавна. Исконное значение: с сотворения (с начала) мира (буквально «с самых первых дней»).

...Спокон (испокон) веков (века), испокон веку ...

Последнее китайское предупреждение (шутл.) - предупреждение, являющееся последним только на словах. Возникновение оборота связано с конфликтом между СССР и Китаем в 1969 г. (о. Даманский). Правительство Китая прислало в связи с этим конфликтом несколько «последних» предупреждений в МИД СССР. Встречаются различные варианты, например: первое, сто первое последнее китайское предупреждение, тридцатое последнее китайское предупреждение и т. п.  Дополнение от ...

...к моменту конфликта никто еще не забыл ту старую шуточку...

Потемкинские деревни - показное, мнимое благополоучие, очковтирательство. Выражение связано с именем князя Г. А. Потемкина, государственного деятеля времен Екатерины II. После присоединения Крыма к России императрица совершила поездку по Новороссии. По рассказам, Потемкин, чтобы показать процветание вверенного ему края, приказал построить на пути ее следования бутафорские селения с расписными избами.

...присоединения Крыма к России императрица совершила поездку...

Пройти (сквозь) огонь и воду (и медные трубы) - 1) многое испытать в жизни, стать опытным; 2) иметь сложное, небезупречное прошлое, сделаться пройдохой; 3) быть женщиной легкого поведения. Древнее выражение интернационального характера, связанно с понятием «божьего суда», с представлениями о воде и огне как очищающих веществах. Приставка и медные трубы появилась, предположительно, во время Отечественной войны 1812 года в военной среде. Медные трубы - ...

...огне смесь воды и солода проходила сквозь медную трубку...