Название этой компании надо склонять. Работает в Яндекс – это как живет в Москва.

Правильно с кавычками: поисковая система "Яндекс".

В строгой литературной речи предпочтительнее использовать первый вариант: по данным портала (сервиса) «Яндекс.Пробки». Второй вариант является новым, поэтому его употребление еще не устоялось. В разговорной речи допустимо сочетание по данным «Яндекс.Пробок».

Обычно индекс пишется в конце.

Употребление пока не устоялось, можно найти доводы в пользу обоих вариантов.

Если это название употребляется без родового слова (например, сервис), то обычно склоняется только вторая часть (деньги).

Как название проекта - в кавычках: «Яндекс.Метрика».

В современном русском языке эти слова однокоренными не являются. Однако этимологически они могут быть родственными: есть гипотеза (разделяемая, впрочем, не всеми лингвистами), что говно восходит к той же праславянской основе govedo 'крупный рогатый скот', что и говядина, и первоначально говно означало 'коровий помет'.

Правилам соответствуют такие варианты: Наш подписной индекс 23786; Наш подписной индекс – 23786.