Это родственные, но не однокоренные слова.
Верно: ... - одна из лучших клиник.
Ударение на И: яИчники, допустимо произношение [чн] и [шн].
Клиника может быть международной (в том смысле, что она основана гражданами разных государств или в ней работают такие граждане). А вот содержание сочетания "эстетические инновации" кажется нам более туманным.
Верно: удостоена знака.