Употребление слова ядерный в значении 'центральный, важнейший, главный' стало привычным, поэтому кавычки не нужны.

Корректное оформление: 4-ядерный. Может быть, лучше написать буквами: четырехъядерный.

Дефисное написание части ядерно- рекомендовано не только в словаре Б. З. Букчиной, но и в «Русском орфографическом словаре» РАН. Объясняется такое написание, вероятно, наличием суффикса -н-  и сложившейся традицией писать подобные слова (большинство из них являются терминами) через дефис. Подробнее о проблеме слитных и дефисных написаний и особенностях словаря «Слитно? Раздельно? Через дефис?» можно прочитать в ответе на вопрос № 285801.

Правильно: двухъядерный и 2-ядерный.

Запятые не нужны.

Грамматически верны сочетания запрет чего-либо и запрет на что-либо, например: запрет ядерных испытаний и запрет на ядерные испытания.