Трудно судить о корректности фразы, не зная ее смысла. Пожалуйста, поясните значение.
Правильное написание названия праздника: Новый год.
Да кавычки нужны, при этом предпочтительно использовать кавычки разного рисунка: ООО «Риелторское агентство "Новый квартал"».
Вторый — церковнославянская форма порядкового числительного. В современном церковнославянском языке она по-прежнему такова.