Корректно: окрестность города Юрьева.
Верно написание со строчной буквы во всех перечисленных случаях.
Корректно: удачный день.
Можно так: продлить командировку на один день.
Верно написание первого слова с прописной.
Верно: День рыбака (как название профессионального праздника).
Мужская фамилия Пень склоняется, женская — нет. Мужскую фамилию лучше склонять с сохранением гласного: Пеня, Пеню и т. д.
Название российского праздника, отмечаемого 23 февраля, – День защитника Отечества.