Правильно: кафедра механики.
Верно: лучшее из эфира.
Правильно: кафедра... методики обучения (чему?) информатикЕ.
Написание неправильное.
Правильно без предлога: сфера подбора, сфера добычи и т. д.
Названия кафедр (как и факультетов) пишутся со строчной буквы: кафедра прикладной математики.