Да, верно.
Обе формы корректны.
Да, это название склоняется: погода в Шувом.
Сделать укол – нейтральный, общеупотребительный вариант, поставить укол – профессионализм, характерный для речи медиков.
Корректно: в ресторане на "Розе Хутор" (на курорте).