Да, эту фамилию, принадлежащую мужчине, нужно склонять.
Мужская фамилия Булай склоняется, правильно в дательном падеже: Булаю.
Верно: предоставить отпуск Будаю.
Это авторское выражение. Вот стихи Осипа Мандельштама:
Нам с музыкой-голубою
Не страшно умереть,
Там хоть вороньей шубою
На вешалке висеть...
Верно: Бахова фуга. Имена прилагательные, образованные от личных имен, фамилий, кличек при помощи суффиксов −ов (−ев) или −ин и обозначающие индивидуальную принадлежность, пишутся с прописной буквы.